Three.js矩阵与向量实战：从基础变换到逆矩阵应用

Three.js矩阵与向量实战：从基础变换到逆矩阵应用

前言

提及矩阵，常令人联想到晦涩难懂的线性代数与离散数学。然而，在图形开发领域，矩阵是驱动每一次运动与变换的核心基石，正如鱼离不开水，它也是无法回避的关键话题。

值得庆幸的是，Three.js已将众多复杂的矩阵运算封装为高层级方法，并提供了卓越的数学库。开发者无需深究底层计算原理（HowToCalc），只需掌握调用方式（HowToUse），即可获取绝大多数所需功能。

本文将聚焦于如何在无需理解内部结构的前提下，在Three.js中高效使用矩阵与向量。

实例演示：手动构建矩阵变换

从一个例子开始

在阐述枯燥概念之前，先通过一个小案例简要说明使用矩阵方法的必要性。

这是我们最终要完成的效果。

首先，我们要创建三个几何体：

var box_geometry = new THREE.BoxGeometry();
var sphere_geometry = new THREE.SphereGeometry(0.5, 32, 32);
var cylinder_geometry = new THREE.CylinderGeometry(0.1, 0.1, 0.5);

var material = new THREE.MeshLambertMaterial({color: new THREE.Color(0.9, 0.55, 0.4)})

这三个几何体分别是盒子、球和圆柱体。

然后去创建三个网格，并将它们置入场景。

var box = new THREE.Mesh(box_geometry, material);
var sphere = new THREE.Mesh(sphere_geometry, material);
sphere.position.y += 1;
var cylinder = new THREE.Mesh(cylinder_geometry, material);
cylinder.position.y += 1.75;
scene.add(box);
scene.add(sphere);
scene.add(cylinder);

这段代码将生成如下场景:

虽然视觉效果并不完美，但作为示例已足够。现在，我希望将这组物体的尺寸减半。常规做法是将物体的scale属性减半，代码如下：

box.scale.multiplyScalar(0.5); 
sphere.scale.multiplyScalar(0.5);
cylinder.scale.multiplyScalar(0.5);

结果与预期存在偏差。我的初衷是对整组物体进行统一缩放，保持它们之间的相对位置不变。为解决此问题，需根据其他对象的缩放重新计算每个对象的位置。但这并非难题，Three.js提供了一种优雅方案：定义一个空对象，将三个子对象添加至其中，并将缩放比例应用于父对象。

var pile = new THREE.Object3D();
pile.scale.multiplyScalar(0.5);
pile.add(box);
pile.add(sphere);
pile.add(cylinder);
scene.add(pile);

接下来我们做一点更有趣的事。

我将在这个物体组合里添加旋转，让我们尝试围绕球体表面旋转的那个圆柱体，就像他将要滑落一样。

它变成了这样，很明显，这不是我想要的东西。我们在这里有两个做法可供选择：第一，通过数学计算算出圆柱相对于球体的正确位置；第二，创建另一个Object3D，将圆柱和球放进去并旋转。这听上去挺复杂的，而且也很不酷。

所以，我们可以尝试自己去计算矩阵。

首先，我需要将属性maxtrixAutoUpdate设置为false，然后我就不能再通过position，scale和rotation去修改矩阵。

box.matrixAutoUpdate = false;
sphere.matrixAutoUpdate = false;
cylinder.matrixAutoUpdate = false;

现在，我将用applyMatrix方法来解决这个问题。具体做法是：为每个对象创建一个Matrix4，然后我们将矩阵与该矩阵相乘以应用后续操作。

var sphere_matrix = new THREE.Matrix4().makeTranslation(0.0, 1.0, 0.0); 
sphere.applyMatrix(sphere_matrix);
var cylinder_matrix = sphere_matrix.clone(); cylinder_matrix.multiply(new THREE.Matrix4().makeTranslation(0.0, 0.75, 0.0)); 
cylinder.applyMatrix(cylinder_matrix);

这几步下来，可以让我们解锁很多知识，来看看这里发生了什么。

首先，我们把盒子单独留下，因为它不需要动。

接着，我创建了一个平移矩阵并把它应用到了球对象上。

最后，在圆柱体上，我clone了球的矩阵信息，并在此基础上又创建了一个新的平移矩阵，圆柱体将移动1.75。

理解了上面几步，你就会知道最后一步该做什么了。

只需要一行代码，作用在球上：

sphere_matrix.multiply(new THREE.Matrix4().makeRotationZ(-Math.PI * 0.25));

达成了想要的效果，很酷。

核心方法解析：平移、旋转与缩放

示例中用到的方法

在上面的示例中，我将球和圆柱体分别沿y轴移动了一定的距离，并使用了makeTranslation这个方法。这个方法的作用是创建了一个平移矩阵。紧接着，我又使用到了applyMatrix的方法。这个方法的作用是把平移矩阵作用在球和圆柱体上。

那么什么是平移矩阵？它又是如何完成一次平移呢？

Three.js中最常见的一种4x4的矩阵，被称为变换矩阵，它所表示的变换类型包括平移、旋转和缩放。

用一个简单的数学题来说明变换矩阵：

有一个起始点，用向量来表示即为Vector3(20,20,0)；现在，我要把它移动到另一个位置，Vector3(30,60,0)。

接下来，我设置一个平移矩阵，来表示向量依照什么方式去移动。

t = |1 0 0 10|
 |0 1 0 40|
 |0 0 1 0 |
 |0 0 0 1 |

最后，用起始的向量去乘以变换矩阵的向量。

|20| |1 0 0 10| |30|
|20| x |0 1 0 40| = |60|
|0 | |0 0 1 0 | |0 |
|1 | |0 0 0 1 | |1 |

变换公式如下：

transformedVector = vector * transformationMatrix

最终的变换向量 = 原始向量 * 变换矩阵

用我们上面例子中的方法来还原这个公式，即：

var vector = new THREE.Vector3(20, 20, 0);
var matrix = new THREE.Matrix4();
matrix.makeTranslation(10, 40, 0);
vector.applyMatrix4(matrix);

除了平移，Three的API中还提供了rotation和scale，scale变化很简单，它将使用makeScale(x, y, z)这个方法来表示缩放。

而旋转则相对复杂许多，Three.js提供以下旋转方法：

matrix.makeRotationX(angle);
matrix.makeRotationY(angle);
matrix.makeRotationZ(angle);
matrix.makeRotationAxis(axis, angle);
matrix.makeRotationFromEuler(euler);
matrix.makeRotationFromQuaternion(quaternion);

前三个方法分别代表的是绕X、Y、Z三个轴旋转，无需赘述。

第四个方法是前三个方法的整合版，第一个参数表示的是代表xyz的THREE.Vector3，第二个参数是旋转的弧度。下面两行代码是等价的：

matrix.makeRotationX(Math.PI);
matrix.makeRotationAxis(new THREE.Vector3(1, 0, 0), Math.PI);

第五个方法表示围绕x、y和z轴的旋转，这是表示旋转最常用的方式；第六个方法是一种基于轴和角度表示旋转的替代方法。

最后，Three.js api提供了一种方法来创建表示平移，旋转和缩放的组合的矩阵 -- matrix.compose：

var translation = new THREE.Vector3();
var rotation = new THREE.Quaternion();
var scale = new THREE.Vector3();
var matrix = new THREE.Matrix4();
matrix.compose(translation, rotation, scale);

矩阵运算进阶：乘法顺序与逆矩阵

矩阵相乘

矩阵乘法的意义在于叠加。

上图表示了三个变化：旋转、缩放和移动。

通过按次序相乘，三个变化矩阵可以得出一个最终的变化矩阵：

combinedMatrix = rotationMatrix * scaleMatrix * translationMatrix;

Three.js里提供了两种矩阵相乘的方法：

• matrix.multiply(otherMatrix)
• matrix.multiplyMatrices(matrixA, matrixB)

第一种方法表示将矩阵乘以另一个矩阵；而第二种方法代表的是将矩阵设置为matrixA * matrixB的结果。

我们在示例中也使用到了第一个方法：将圆柱体的矩阵乘以新的平移矩阵，和将球的矩阵乘以一个旋转矩阵。

需要注意的是，乘法交换律不适用于矩阵乘法，矩阵乘法是具有次序的，先旋转再移动和先移动再旋转的结果是完全不同的。

矩阵的逆

在数字的运算里，除法相当于是乘法的“撤销”操作：

4 x 5 = 20
20 / 5 = 4

但是在矩阵计算里，这个守则同样是不适用的。我们不能用向量去除一个矩阵，我们只能用向量去乘以一个矩阵的逆矩阵，来完成“撤销”的操作。

变化后的向量 = 原始向量 * 变化矩阵; 逆矩阵 = 变化矩阵.inverse(); 原始向量 = 变化后的向量 * 逆矩阵；

逆矩阵表示的是相反的变换。

Three.js里提供了一种计算逆矩阵的方法：

var matrix = new THREE.Matrix4();
var inverseMatrix = new THREE.Matrix4();
matrix.getInverse(inverseMatrix);

除此之外，逆矩阵还应用在3D场景中处理相机对象的时候。

最后

矩阵在3D世界里是一种十分强大的工具，它能够将任意变换都表示为一种相似的结构，并采用相同的计算过程。而实际上，矩阵的世界远远比这里介绍的内容更多，希望通过这些简要的介绍，可以让我们进入到一个更深的领域，并游刃有余的利用他处理图形开发中更复杂的场景。

好了，以上就是这篇文章的全部内容了，希望本文的内容对大家的学习或者工作具有一定的参考学习价值，谢谢大家对本站的支持。